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<page pageid="2" ns="0" title="Windows Tips">
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<rev contentformat="text/x-wiki" contentmodel="wikitext" xml:space="preserve">* [[AFT修羅の道]]
* [[暗号化ファイルシステムの罠]]
落ち：私は、Linuxを使う人類の覚醒を信じる。だが、人類全体をニュータイプに変えるためには、誰かが、MS-DOSの業を背負わなければならない。</rev>
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<page pageid="13" ns="0" title="Αβ型漸化式">
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<rev contentformat="text/x-wiki" contentmodel="wikitext" xml:space="preserve">==αβ型漸化式==
漸化式<math>a_n=ba_{n-1}+ca_{n-2}</math>を解くことを考えます。
もとの漸化式を<math>\alpha\beta</math>型漸化式に変形します。
<math>a_n-\alpha a_{n-1} = \beta (a_{n-1}-\alpha{n_2}) = \beta^2 (a_{n-2} - \alpha a_{n-3}) = \cdots = \beta^{n-2} (a_2 - \alpha a_1)</math>
両方の式を比較すると<math>b=\alpha+\beta</math>、<math>c=-\alpha\beta</math>なので、
2次方程式の解と係数の関係より、<math>\alpha, \beta</math>は、
'''特性方程式'''<math>x^2-bx-c=0</math>の解となります。
<math>\alpha, \beta</math>の対称性から、もとの漸化式を次の2つの漸化式に変形できます。
<math>a_n - \alpha a_{n-1} = \beta ( a_{n-1} - \alpha a_{n-2} ) = \beta^{n-2} (a_2 - \alpha a_1 )</math>
<math>a_n - \beta a_{n-1} = \alpha ( a_{n-1} - \beta a_{n-2} ) = \alpha^{n-2} (a_2 - \beta a_1 )</math>
<math>\alpha \not= \beta</math>の場合、両辺の差をとります。
<math>(\beta-\alpha)a_n = \beta^{n-1} (a_2 - \alpha a_1 ) - \alpha^{n-1} (a_2 - \beta a_1)</math>
この式を変形して、漸化式を解けます。
<math>a_n = \frac{\beta^{n-1} (a_2 - \alpha a_1 ) - \alpha^{n-1} (a_2 - \beta a_1)}{\beta - \alpha}</math>
<math>\alpha=\beta</math>の場合、両辺を<math>\alpha^{n-2}</math>で割ります。
<math>\frac{a_n}{\alpha^{n-2}} - \frac{a_{n-1}}{\alpha^{n-3}} = a_2 - \alpha a_1</math>
数列<math>\frac{a_n}{\alpha^{n-2}}</math>が等差数列になるので、次のように漸化式を解けます。
<math>a_n = (n-1) \alpha^{n-2} a_2 - (n-2) \alpha^{n-1} a_1</math>
== 謝辞 ==
<math>\alpha\beta</math>漸化式については、筆者が高校2年の時に、
神奈川県立横浜緑ヶ丘高校の内藤昌孝先生から教わりました。</rev>
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