Αβ型漸化式

αβ型漸化式

漸化式$a_{n}=ba_{{n-1}}+ca_{{n-2}}$を解くことを考えます。

もとの漸化式を$\alpha \beta$型漸化式に変形します。

$a_{n}-\alpha a_{{n-1}}=\beta (a_{{n-1}}-\alpha {n_{2}})=\beta ^{2}(a_{{n-2}}-\alpha a_{{n-3}})=\cdots =\beta ^{{n-2}}(a_{2}-\alpha a_{1})$

両方の式を比較すると$b=\alpha +\beta$、$c=-\alpha \beta$なので、 2次方程式の解と係数の関係より、$\alpha ,\beta$は、 特性方程式$x^{2}-bx-c=0$の解となります。

$\alpha ,\beta$の対称性から、もとの漸化式を次の2つの漸化式に変形できます。

$a_{n}-\alpha a_{{n-1}}=\beta (a_{{n-1}}-\alpha a_{{n-2}})=\beta ^{{n-2}}(a_{2}-\alpha a_{1})$

$a_{n}-\beta a_{{n-1}}=\alpha (a_{{n-1}}-\beta a_{{n-2}})=\alpha ^{{n-2}}(a_{2}-\beta a_{1})$

$\alpha \not =\beta$の場合、両辺の差をとります。

$(\beta -\alpha )a_{n}=\beta ^{{n-1}}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{{n-1}}(a_{2}-\beta a_{1})$

この式を変形して、漸化式を解けます。

$a_{n}={\frac {\beta ^{{n-1}}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{{n-1}}(a_{2}-\beta a_{1})}{\beta -\alpha }}$

$\alpha =\beta$の場合、両辺を$\alpha ^{{n-2}}$で割ります。

${\frac {a_{n}}{\alpha ^{{n-2}}}}-{\frac {a_{{n-1}}}{\alpha ^{{n-3}}}}=a_{2}-\alpha a_{1}$

数列${\frac {a_{n}}{\alpha ^{{n-2}}}}$が等差数列になるので、次のように漸化式を解けます。

$a_{n}=(n-1)\alpha ^{{n-2}}a_{2}-(n-2)\alpha ^{{n-1}}a_{1}$

謝辞

$\alpha \beta$漸化式については、筆者が高校2年の時に、 神奈川県立横浜緑ヶ丘高校の内藤昌孝先生から教わりました。